xy平面上の円の式からa,bの条件を求める方法

円の方程式「x² + y² + ax + by = 0」を与えられた範囲で解くためには、円の位置と半径に関する条件を求める必要があります。この問題では、円がx≦0、y≦0の範囲内で示されるためのa、bの条件を求める方法について解説します。

円の方程式を標準形に変換する

まず、円の方程式「x² + y² + ax + by = 0」を整理して標準形に変換します。この方程式を平方完成することで、円の中心と半径を求めることができます。

平方完成を行うと、次のように変形できます。

(x + a/2)² + (y + b/2)² = (a² + b²)/4

これにより、円の中心は(-a/2, -b/2)、半径は√((a² + b²)/4)となります。

問題では円がx≦0、y≦0の範囲内にあると指定されています。これは円の中心が第3象限に位置することを意味します。したがって、円の中心が(-a/2, -b/2)となるためには、a>0、b>0である必要があります。

この条件により、円の中心が第3象限に位置するため、aとbが正の値であることが分かります。

また、円の半径は√((a² + b²)/4)となります。円の半径は常に正の値であるため、(a² + b²)/4 > 0 という条件も満たされます。この条件は、aとbが0でない限り常に成立します。

したがって、円がx≦0、y≦0の範囲内で示されるためのa、bの条件は、a > 0 および b > 0 であることが分かります。この条件により、円の中心が第3象限に位置し、円の半径が正となります。

円の方程式「x² + y² + ax + by = 0」がx≦0、y≦0の範囲内で示されるためには、aとbがともに正の値である必要があります。これにより円の中心が第3象限に位置し、円が正しく描かれることが保証されます。