この問題は、2つの関数f(x)とg(x)について、定数aの値の範囲を求める問題です。具体的には、(1) どんなxの値に対してもf(x) < g(x)が成立する条件と、(2) どんなx1, x2の値に対してもf(x1) < g(x2)が成立する条件を求めます。まずは、関数f(x)とg(x)の理解から始め、次に条件を満たすための計算方法を説明します。
関数f(x)とg(x)の定義
与えられた関数は以下の通りです。
- f(x) = -x² + ax + a – 2
- g(x) = x² – (a – 2)x + 3
この問題での主な目的は、定数aの範囲を求めることです。特に、(1)と(2)の条件を満たすようなaの値を導きます。
(1) どんなxの値に対してもf(x) < g(x)が成立する条件
まず、(1)の条件に注目します。この条件は、任意のxに対してf(x)がg(x)より小さいことを意味します。f(x)とg(x)の差を計算し、その差が常に負であるようなaの範囲を求めます。
f(x) – g(x)を計算すると、次のようになります。
- f(x) – g(x) = (-x² + ax + a – 2) – (x² – (a – 2)x + 3)
これを展開し整理すると、f(x) – g(x) = -2x² + 3x + (a – 5) となります。この式が常に負であるためには、-2x² + 3x + (a – 5) < 0 でなければなりません。
この不等式が成立するaの範囲を求めることで、(1)の条件を満たすaの値が決まります。
(2) どんなx1, x2の値に対してもf(x1) < g(x2)が成立する条件
次に、(2)の条件を考えます。この条件は、任意のx1およびx2に対してf(x1)がg(x2)より小さいことを意味します。この条件を満たすためには、f(x1)とg(x2)がどのように関係しているかを理解する必要があります。
ここでは、f(x1) < g(x2)が成立するためのaの範囲を求めるために、具体的な値を代入して計算します。x1とx2の関係性をどのように扱うかを理解することが重要です。
グラフの描画による理解
f(x)とg(x)のグラフを描くことで、(1)と(2)の条件が視覚的に理解しやすくなります。特に、(1)の場合はf(x)とg(x)のグラフがどのように交差するかを確認し、(2)の場合は異なるx1, x2の組み合わせに対して関数がどのように関係しているかを見ることが重要です。
まとめ
f(x)とg(x)の関数において、(1)の条件はf(x)とg(x)の差が常に負であることを意味し、これを満たすaの範囲を求める必要があります。(2)の条件は、任意のx1, x2に対してf(x1) < g(x2)が成立することを意味し、この条件を満たすaの範囲を求めます。これらの計算を通じて、aの具体的な値の範囲を導きます。数学的な手法を理解し、問題を解決する方法を学びましょう。
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