座標平面上の放物線とx軸との共有点を持たない条件の解説

本記事では、座標平面上の放物線 y = x² + 2(a – b)x – 2ab + a – b + 1/2 とx軸との共有点を持たないような整数の組 (a, b) の個数を求める問題を解説します。問題に取り組む前に、放物線の方程式がどのような形で構成され、どのように解くべきかを理解しましょう。

放物線とx軸との共有点の条件

放物線とx軸が共有点を持たないためには、その放物線の2次方程式の判別式（Δ）が負でなければなりません。放物線の方程式を一般的な2次方程式の形、すなわち y = Ax² + Bx + C として、判別式 Δ = B² – 4AC が負であれば、x軸との交点は存在しません。

問題に与えられた放物線の方程式は次の通りです。

y = x² + 2(a - b)x - 2ab + a - b + 1/2

この式を整理して、一般的な2次方程式の形 Ax² + Bx + C に合わせます。具体的に、x² の項はそのままで、x の係数と定数項をそれぞれ整理します。

放物線の判別式 Δ は以下のように求められます。

Δ = (2(a - b))² - 4(1)(-2ab + a - b + 1/2)

この式を展開して整理すると、Δ が負となる条件を導き出すことができます。Δ が負であれば、放物線とx軸は交点を持たないということになります。

Δ の条件を満たす整数の組 (a, b) を求めるために、Δ が負であるような a と b の範囲を求めます。これには数値的な計算が必要ですが、求められた条件に従って整数の組 (a, b) をリストアップすることができます。

本記事では、与えられた放物線の方程式に対して、x軸との共有点を持たない条件を求める方法を解説しました。判別式を使ってx軸との交点が存在しない条件を求め、整数の組 (a, b) を導き出すことができました。こうした数学的なアプローチは、座標平面や関数の解析において重要な基本的手法です。