数学の問題でsin(75°)を加法定理で解く方法について解説します。特に、角度を60°や45°に分ける方法や、tan(165°)の求め方に悩んでいる方に向けて、わかりやすく説明します。
1. 加法定理とは？
加法定理とは、2つの角度の三角関数を計算するための公式です。例えば、sin(A + B)やcos(A + B)の計算に使われます。具体的な式は以下の通りです。
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
2. sin(75°)の計算方法
sin(75°)を求めるために、まず75°を簡単な角度で表現します。75°は、60°と15°の和として分解できます。これにより、加法定理を使って計算を行うことができます。
sin(75°) = sin(60° + 15°)として、加法定理を適用します。具体的には、以下のように計算します。
sin(75°) = sin(60°)cos(15°) + cos(60°)sin(15°)
3. 必要な三角関数の値
sin(60°)とcos(60°)はよく知られている三角関数の値です。sin(60°) = √3/2、cos(60°) = 1/2です。また、sin(15°)とcos(15°)は計算が少し難しいですが、近似値を使うこともできます。
sin(15°) ≈ 0.2588、cos(15°) ≈ 0.9659です。これらを使って計算すると、sin(75°) ≈ 0.9659 × √3/2 + 1/2 × 0.2588 ≈ 0.9659 × 0.866 + 0.1294 ≈ 0.9659
4. tan(165°)の計算方法
次に、tan(165°)を求めます。165°は180° – 15°です。したがって、tan(165°)はtan(180° – 15°)となり、以下の公式を適用できます。
tan(180° – θ) = -tan(θ)
このため、tan(165°) = -tan(15°)となります。tan(15°)は0.2679ですので、tan(165°) ≈ -0.2679です。
5. まとめとヒント
sin(75°)やtan(165°)を計算するためには、加法定理や三角関数の基本的な知識をしっかり理解しておくことが大切です。特に、角度を60°や45°などのよく知られた角度に分けることは非常に有効です。実際の問題では、加法定理や補助的な三角関数を使うことで、複雑な角度の三角関数も簡単に求めることができます。
数学の問題を解く際には、基本的な公式を使いこなすことが重要です。加法定理を覚えて、他の角度に対する三角関数の値を適用することで、より難しい問題も解決できるようになります。
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