漸化式の解き方：a1=5, an+1=an+2nを解く手順

漸化式は一見難しそうに見えるかもしれませんが、解法にはいくつかの基本的なステップがあります。この質問では、具体的な漸化式をどのように解くかについて解説します。

漸化式とは？

漸化式は、ある項が前の項やその周辺の項とどのように関連しているかを示す式です。ここでは、a1=5という初期条件から始まり、an+1=an+2nという漸化式で次々と項を求めていきます。一般的に、漸化式を解くためには、式を展開したり、適切な方法で項を求めていきます。

1. **初期値を確認**：まず、最初の値a1=5を確認します。これが初項になります。

2. **漸化式を適用**：次に、漸化式an+1=an+2nを適用します。この式は、次の項an+1が現在の項anに2nを足すという意味です。

3. **項を計算**：最初の項をa1=5として、次の項a2を求めます。

a2 = a1 + 2×1 = 5 + 2 = 7

次にa3を求めます。

a3 = a2 + 2×2 = 7 + 4 = 11

これを繰り返すことで、どんどん次の項を求めていきます。

もし、次の項を計算していくだけではなく、一般的な解を求めたい場合は、式の展開を考えます。具体的には、次の項を求める式がan+1=an+2nなので、この式を逐次的に展開していきます。

例えば、最初の数項を展開してみると次のようになります。

a2 = a1 + 2×1 = 5 + 2 = 7

a3 = a2 + 2×2 = (a1 + 2×1) + 2×2 = 5 + 2 + 4 = 11

a4 = a3 + 2×3 = ((a1 + 2×1) + 2×2) + 2×3 = 5 + 2 + 4 + 6 = 17

このようにして、漸化式を展開していくことで、一般項のパターンを見つけることができます。

漸化式を解くためには、まず初期値を確認し、漸化式を適用して次々と項を計算していきます。一般項を求める場合は、式を展開していき、パターンを見つける方法を用います。漸化式は最初は難しそうに見えるかもしれませんが、手順を守って解いていけば、スムーズに解けるようになります。