行列のランクに関する証明：rank(AB) ≦ rank(A) と rank(AB) ≦ rank(B)

行列のランクに関する問題、特に「rank(AB) ≦ rank(A)」および「rank(AB) ≦ rank(B)」を証明する問題について、数学が苦手な方でも理解しやすいように解説します。ここでは、行列の乗算とランクの概念を基本から説明し、証明を簡単に理解できるように進めます。

行列のランクとは？

行列のランクとは、その行列が持つ「線形独立なベクトルの数」を指します。言い換えると、行列がどれだけ「情報」を持っているかを示す指標です。例えば、行列Aのランクが2であれば、Aが持つ行や列のうち、2つの行または列は他の行や列から独立しているということになります。

問題の背景：rank(AB) ≦ rank(A) と rank(AB) ≦ rank(B)

今回の問題は、行列A（l×m行列）と行列B（m×n行列）に対して、積AB（l×n行列）のランクが、それぞれの行列AおよびBのランクを超えないことを示すものです。具体的には、行列ABのランクが、AやBのランクをそれぞれ超えることはないことを証明します。

証明(1): rank(AB) ≦ rank(A)

まず、ABのランクがAのランクを超えないことを示しましょう。行列ABをAとBの積として表すと、Aの列空間とBの行空間の掛け算です。したがって、ABの列はAの列空間の線形結合に依存しており、ABのランクはAのランク以下であることがわかります。

証明(2): rank(AB) ≦ rank(B)

次に、ABのランクがBのランクを超えないことを示します。行列Bのランクは、Bの行空間の次元を示しますが、ABの列空間はBの行空間に制限されます。そのため、ABのランクはBのランク以下であることがわかります。

まとめ

このように、行列のランクに関する証明問題では、行列の性質やランクの定義を理解することが重要です。「rank(AB) ≦ rank(A)」および「rank(AB) ≦ rank(B)」の証明は、行列の列空間と行空間がどのように相互に影響するかを考えることで、簡単に理解できることがわかります。数学の問題を解くときは、基本的な概念を押さえながら証明を進めることが大切です。