cos2θ + cosθ = -1 の解法と解の導出方法

この問題では、0≦θ‹2πの範囲でcos2θ + cosθ = -1 の解を求める方法を説明します。まず、与えられた式を整理して解くための手順を追い、解を導きます。

1. 問題の整理

式「cos2θ + cosθ = -1」を解くために、まず式を簡単化し、適切な三角関数の恒等式を使って解を求めます。

まず、cos2θをcosθの式に置き換えることができます。cos2θの恒等式「cos2θ = 2cos²θ – 1」を使用して、式を「2cos²θ – 1 + cosθ = -1」に変形します。

式を整理すると、2cos²θ + cosθ – 1 = 0 という二次方程式が得られます。この方程式を解くために、解の公式を使います。

解の公式「x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a」を使い、a = 2, b = 1, c = -1を代入します。計算すると、cosθ = (−1 ± √(1 + 8)) / 4 = (−1 ± √9) / 4 となり、cosθ = −1/2 または cosθ = 1となります。

cosθ = −1/2 または cosθ = 1 の場合、それぞれθの値を求めます。cosθ = −1/2 の解はθ = 2/3π, 4/3π となり、cosθ = 1 の解はθ = π/2, 3/2πとなります。

最終的に、式「cos2θ + cosθ = -1」の解は、θ = π/2, 2/3π, 4/3π, 3/2π となります。このように、三角関数の恒等式や解の公式を使って問題を解決できます。