確率の問題：赤玉を取り出したとき、もう1つの玉が赤玉である確率

高校数学

2025.10.22

今回の問題は、確率を使って、無作為に選んだ箱から赤玉を取り出したとき、その箱の中にもう1つの赤玉がある確率を求める問題です。この問題で求められているのは、赤玉が取り出された時点で、その箱にもう1つ赤玉がある確率です。

1. 問題の設定

箱Aには赤玉が2個、箱Bには赤玉と白玉がそれぞれ1個、箱Cには白玉が2個入っています。この中で無作為に1つの箱を選び、玉を1個取り出したところ、その玉が赤玉だった場合、その箱の中にもう1つの玉が赤玉である確率を求めます。

この問題を解くためには、「条件付き確率」を使います。条件付き確率とは、ある事象が起こった後で、別の事象が起こる確率を求める方法です。ここでは、「赤玉を取り出した」という事象が起こった後に、箱の中にもう1つ赤玉がある確率を求めます。

まず、各箱から赤玉が出る確率を求めます。箱Aから赤玉を取り出す確率は、箱Aに赤玉が2個あるので、2/2、つまり1です。箱Bから赤玉を取り出す確率は、箱Bには赤玉と白玉が1個ずつあるので、1/2です。箱Cには赤玉がないため、赤玉が出る確率は0です。

赤玉が出たとき、もう1つの玉が赤玉である確率は、箱Aまたは箱Bのどちらかが選ばれた場合です。箱Aが選ばれる確率は1/3、箱Bが選ばれる確率も1/3です。箱Aから赤玉が出る確率は1、箱Bから赤玉が出る確率は1/2です。

ベイズの定理に従って、条件付き確率を計算すると、箱Aか箱Bのどちらかが選ばれ、赤玉が出る確率を求めると、最終的に箱Aまたは箱Bの赤玉を取り出した場合の確率が、2/3となります。

この問題では、「赤玉が取り出された」という条件下で、もう1つの玉が赤玉である確率を求めました。最初は1/2になると思いがちですが、箱Aと箱Bの選ばれる確率に基づいて計算すると、2/3という結果が得られます。このような問題では、確率の基礎を理解し、条件付き確率を正しく使うことが大切です。