数学の問題でよく出題される因数分解は、式の形を簡単にして解きやすくするための基本的なテクニックです。今回は、次の式の因数分解方法について解説します。
1. 問題の式
まずは与えられた式を確認しましょう。
(x-1)(x-3)(x+3)(x+5)+4(x²+2x)+3
この式を因数分解するためには、まずは展開して式を簡単にしていきます。
2. 式を展開する
まず、(x-1)(x-3) と (x+3)(x+5) をそれぞれ展開します。
(x-1)(x-3) = x² – 4x + 3
(x+3)(x+5) = x² + 8x + 15
次に、これらを掛け合わせます。
(x² – 4x + 3)(x² + 8x + 15) = x⁴ + 8x³ + 15x² – 4x³ – 32x² – 60x + 3x² + 24x + 45
整理すると、
x⁴ + 4x³ – 14x² – 36x + 45
次に、残りの部分である +4(x² + 2x) + 3 を展開します。
4(x² + 2x) = 4x² + 8x
これを加えると、
x⁴ + 4x³ – 14x² – 36x + 45 + 4x² + 8x + 3 = x⁴ + 4x³ – 10x² – 28x + 48
3. 因数分解
これで、式は次のようになります。
x⁴ + 4x³ – 10x² – 28x + 48
次に、この式が因数分解できるかどうかを確認します。
まず、試しに因数分解の形を探します。ここでは、
(x² + 2x – 4)(x² + 2x – 12)
という形に因数分解できることがわかります。
4. 結論
最終的に与えられた式の因数分解結果は以下の通りです。
(x² + 2x – 4)(x² + 2x – 12)
この方法で問題を解くことができます。
因数分解は、式を展開して整理した後に最適な形に分解するという手法を取ります。基本的な演算をしっかりと理解していれば、どんな問題でも対応できるようになります。
5. まとめ
数学の因数分解は、式を展開して整理し、最適な形に分ける力を養うために重要です。この記事で紹介した手順を参考にして、他の問題にも挑戦してみましょう。
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