数学の問題でよく登場する「平方差の公式」を使って、m^2 – n^2 = 10！という式を満たす正の整数の組(m, n)を求める問題があります。この問題を解くためには、まず式の構造をよく理解し、平方差の公式を活用することがポイントです。
平方差の公式を理解する
まず、平方差の公式をおさらいしましょう。平方差の公式は、次のように表されます。
(a^2 – b^2) = (a – b)(a + b)
この公式を使うと、m^2 – n^2という形の式を(a – b)(a + b)の形に分解することができます。これをm^2 – n^2 = 10！に適用して、mとnの関係を探ります。
問題を平方差の形に変形する
与えられた式m^2 – n^2 = 10！を平方差の形に変形すると、次のようになります。
(m – n)(m + n) = 10！
ここで、10！は10の階乗、すなわち10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1です。これを計算すると、10！の値は3,628,800になります。したがって、式は次のようになります。
(m – n)(m + n) = 3,628,800
m – n と m + n の組み合わせを求める
次に、(m – n) と (m + n) の積が3,628,800になるような正の整数の組を求めます。まず、3,628,800の約数をリストアップし、それぞれの約数を(m – n)と(m + n)に対応させます。
例えば、(m – n) = 1 の場合、(m + n)は3,628,800になります。次に、mとnを計算するために、以下の式を使います。
m = (m – n + m + n) / 2
n = (m + n – (m – n)) / 2
この式を使って、mとnの値を計算していきます。
m, nの組み合わせを計算する
m – n と m + n のそれぞれの組み合わせに対して、mとnの値を求めます。例えば、(m – n) = 1 と (m + n) = 3,628,800 の場合、mとnは次のように計算できます。
m = (1 + 3,628,800) / 2 = 1,814,400.5
このように、mとnは整数でなければなりませんので、m – n と m + n の組み合わせを慎重に選ぶ必要があります。計算を繰り返すことで、mとnが正の整数になる組み合わせを見つけることができます。
まとめ
m^2 – n^2 = 10！という問題を解くためには、平方差の公式を使って式を変形し、10！の約数を調べることが重要です。その後、得られた組み合わせを使ってmとnの値を計算し、正の整数の組(m, n)を求めることができます。今回のような問題では、公式を適用し、慎重に計算を進めることが大切です。
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