区別のつかない12個の球を区別のある箱に分ける方法の数を解説

区別のつかない12個の球を3つの区別のある箱に分ける方法の数を求める問題は、組み合わせに関する基本的な問題です。この問題では、各球がどの箱に入るかを決定することに重点を置きますが、注意すべき点として「1つの箱が空であっても良い」という条件があります。

1. 問題の理解

この問題は、区別のつかない球を、区別のある箱に分ける場合の組み合わせの数を求める問題です。12個の球を3つの箱に分ける方法を考える際、各箱に入る球の個数は異なっても構いません。また、1つの箱が空でも問題ありません。

一般的に、区別のつかない物を区別のある箱に分ける場合、星と棒（Stars and Bars）という手法を使って計算することができます。この方法を使うことで、分ける方法の数を簡単に求めることができます。

2. 星と棒の方法

この問題は「星と棒」という有名な組み合わせの手法を使って解決します。星と棒の方法では、n個の物をk個の箱に分ける方法の数を求める際に、n個の物をk−1個の区切り棒で区切ると考えます。

具体的には、12個の球を3つの箱に分ける場合、球の個数を「星」として、箱を区切る「棒」を使って区切りを行います。この場合、棒の数は箱の数-1個です。よって、12個の球を3つの箱に分けるためには、12個の球と2つの棒を並べる順番を決める必要があります。

3. 組み合わせの計算

星と棒の方法を使う場合、12個の球と2つの棒を並べる方法の数は、12+2=14個のアイテムの中から2つの棒を選ぶ組み合わせとして計算できます。これを組み合わせの式で表すと、「14C2」となります。

14C2の計算式は次のようになります：
14C2 = 14! / (2! * (14-2)!) = (14 * 13) / 2 = 91

したがって、12個の球を3つの箱に分ける方法は91通りであることがわかります。

4. まとめ

区別のつかない12個の球を3つの区別のある箱に分ける方法は、星と棒の方法を使うことで、組み合わせの数として簡単に求めることができます。この場合、12個の球と2つの棒を並べる方法の数は「14C2」となり、その計算結果は91通りとなります。このような問題では、組み合わせの基本的な考え方を適用することで、効率的に解くことができます。