複素積分の計算方法と置換法による解法: ∫[0→2π] 1/(3+(cosθ)²)² dθ の解説

この問題では、複素積分を用いて与えられた積分を計算する方法を解説します。特に、cosθの置換を行う際に直面する計算の難しさについて、初心者にも分かりやすく説明します。

1. 問題の設定

与えられた積分式は次の通りです。

∫[0→2π] 1/(3 + (cosθ)²)² dθ

ここで、cosθ = 1/2(z + 1/z)という置換を行うことで、複素数平面上での計算が進められます。ですが、分母の次数が大きくなるため、計算の過程がわかりにくいという点が問題です。

まず、cosθ = (1/2)(z + 1/z)という複素数の置換を使用します。この置換を行うことで、積分式はz平面上での積分に変換できます。

cosθ = (1/2)(z + 1/z)の式を代入し、式の形を整理します。ここで、分母が次数が高くなるため、計算を簡略化するために対称性や特定の式を利用します。

次に、複素積分を計算するために、積分の範囲をz平面に変換していきます。z平面で積分を計算する際に重要なのは、積分領域を適切に把握することです。この場合、積分の範囲は単位円の周囲に設定されます。

また、この積分式を計算するために必要な計算方法を説明します。多くの場合、積分を行うために特別な手法（残差定理など）を使うことになります。

この問題では、cosθの置換を行い、z平面上での積分に変換しました。計算が難しい部分もありますが、置換を利用して複素積分に変換することで、問題を解くことができます。計算の手順を丁寧に追い、複素数積分に慣れることで、よりスムーズに問題を解けるようになります。