箱の玉の交換問題：漸化式と初期条件の理解

箱Ａと箱Ｂの玉を交換する問題は確率論や漸化式の理解を深めるための良い例です。今回の質問では、n回の試行後に箱Ａに赤玉1個、白玉3個が入っている確率P_nを求める問題です。この漸化式の導出や、初期条件p_0を求める理由について、詳細に解説します。

問題の設定と漸化式の導出

箱Ａと箱Ｂにはそれぞれ赤玉1個、白玉3個、計4個ずつの玉が入っています。1回の試行で箱Ａから1個、箱Ｂから1個の玉を無作為に選んで交換します。n回の試行後に箱Ａに赤玉1個、白玉3個が入っている確率P_nを求めるためには、漸化式を使って解くことができます。

漸化式は次のように与えられます。

p_(n+1) = (5/8)p_n + (1/2)q_n + (1/2)r_n

また、p_n + q_n + r_n = 1 という条件もあります。ここで、p_nは箱Ａに赤玉1個、白玉3個が入っている確率、q_nは箱Ａに赤玉2個、白玉2個が入っている確率、r_nは箱Ａに赤玉0個、白玉4個が入っている確率です。

漸化式を解くために、p_(n+1) = (5/8)p_n + (1/2)(1 – p_n) という形に変形したという点で、p_1ではなくp_0が重要になります。なぜなら、p_1を求めるためには初期状態（n=0）の確率p_0が必要だからです。

漸化式は通常、初期状態からの変化を追う形式であり、p_0が最初の状態を表します。このように、n=0での確率がどのように設定されるかが、後の計算に大きな影響を与えます。

n=0の場合は、試行を1回も行っていない初期の状態です。このとき、箱Ａには最初に赤玉1個、白玉3個が入っているので、p_0 = 1 となります。すなわち、初期状態では箱Ａに赤玉1個、白玉3個が確実に入っているということです。

p_0は確率論で言う初期条件として重要です。漸化式を解く際、初期状態を設定することで、その後の状態の確率を計算していきます。もしp_0を1以外の値にした場合、問題の条件に合わなくなります。

漸化式を解くためには、n=0の初期条件p_0を正しく設定することが重要です。p_0は最初の状態に対応する確率であり、問題の設定からp_0 = 1とすることが自然です。この初期条件をもとに、漸化式を解くことで、n回の試行後の確率P_nを求めることができます。