このページでは、分数231/(n+2)が正の整数になるような50より小さい素数nを求める方法を解説します。問題に登場する分数の計算と素数の特性を理解し、正しい解法を見つけましょう。
1. 問題の整理
与えられた分数は231/(n+2)です。この分数が正の整数になるためには、分母(n+2)が231の約数でなければなりません。したがって、まずは231の約数を求め、それに基づいてnを求めます。
2. 231の約数を求める
231の素因数分解を行うと、231 = 3 × 7 × 11 となります。231の約数は、これらの素因数を組み合わせて求めることができます。約数としては、1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 の8つがあります。
3. n+2が約数である条件
次に、n+2が231の約数である必要があります。つまり、n+2が1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231のいずれかの値でなければなりません。この条件を満たすnを求めます。
4. 50より小さい素数nの求め方
n+2が上記の約数であるとき、n = 約数 – 2 となります。これらを計算すると、nの候補は次の通りです。
- n+2 = 3 の場合、n = 1（素数ではない）
- n+2 = 7 の場合、n = 5（素数）
- n+2 = 11 の場合、n = 9（素数ではない）
- n+2 = 21 の場合、n = 19（素数）
- n+2 = 33 の場合、n = 31（素数）
- n+2 = 77 の場合、n = 75（素数ではない）
- n+2 = 231 の場合、n = 229（50より大きいため除外）
これらの中で、50より小さく、かつ素数であるnは5, 19, 31の3つです。
5. まとめ
以上のように、分数231/(n+2)が正の整数になるような50より小さい素数nは、5, 19, 31の3つであることがわかりました。このように、問題を分解して素因数分解や約数の特性を利用することで、解答を導き出すことができます。
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