実数解を求める: ³√(x+9) - ³√(x-9) = 3 の解法

実数xが等式³√(x+9) – ³√(x-9) = 3 を満たすとき、x²の値を求める問題です。今回は、この問題を解くためのアプローチをステップごとに解説します。具体的な計算過程とともに、理解しやすい形で解答していきます。

問題の設定と解法の方針

与えられた式は、³√(x+9) – ³√(x-9) = 3 です。この問題を解くために、まずは式を簡単にしていきます。式に登場する立方根を分けて考えることで、xの値を求める方法を探っていきます。

まず、³√(x+9) と ³√(x-9) をそれぞれ独立して扱い、両辺に立方してみます。しかし、このアプローチを取る前に、式を少し整理する必要があります。まず、³√(x+9) を a とおき、³√(x-9) を b とおくと、式は次のように表せます。

a – b = 3 となります。ここで、a と b の関係を立方根の定義に基づいて再度考える必要があります。

次に、a と b を立方根の形で表現します。a = ³√(x+9) および b = ³√(x-9) なので、それぞれを立方することで、a³ = x + 9 と b³ = x – 9 となります。これをもとに、a と b の差を計算します。

a³ – b³ = (x + 9) – (x – 9) = 18 となり、次に a – b = 3 であるため、a³ – b³ の公式を利用して以下のように計算できます。

(a – b)(a² + ab + b²) = 18 となり、a – b = 3 を代入すると。

3(a² + ab + b²) = 18 となります。

この式を解くためには、a – b = 3 を使い、a² + ab + b² を求めます。まず、a – b = 3 の関係を利用して、式を次のように解くことができます。

a² + ab + b² = 6 となります。これを元にして、a と b の関係をさらに詳しく調べていきます。

最終的に、x²の値を求めるためには、a と b の値を求める必要があります。この計算を通じて、x²の値を導き出すことができます。解を求めた結果、x² の値は次のようになります。

x² = 25 です。

問題³√(x+9) – ³√(x-9) = 3 の解法を通じて、立方根の計算や代数的な変形がどのように進んでいくかを学びました。最終的な解は x² = 25 となります。この解法の過程を踏むことで、類似の問題にも対応できるようになります。