50円硬貨2枚と100円硬貨3枚を投げたときの金額の期待値と標準偏差の求め方

50円硬貨2枚と100円硬貨3枚を同時に投げたとき、表の出た硬貨の金額の和の期待値と標準偏差を求める問題です。確率と期待値、標準偏差の基本的な考え方を理解し、この問題を解いてみましょう。

問題の設定と確率の計算

まず、50円硬貨2枚と100円硬貨3枚を投げたとき、各硬貨が表を出す確率は1/2です。したがって、50円硬貨の1枚が表を出す確率も、100円硬貨の1枚が表を出す確率も、どちらも1/2です。

表が出た場合、金額が加算されるので、50円硬貨が表を出すと50円が加算され、100円硬貨が表を出すと100円が加算されます。これを使って期待値を求めます。

期待値は、確率とその結果の積の和として求められます。まず、50円硬貨2枚について計算しましょう。1枚の50円硬貨が表を出す確率は1/2です。したがって、2枚の50円硬貨が表を出す場合の期待値は次のように計算できます。

50円硬貨の期待値 = 2 × (1/2) × 50 = 50円

次に、100円硬貨3枚についても同様に計算します。

100円硬貨の期待値 = 3 × (1/2) × 100 = 150円

したがって、表が出た硬貨の金額の和の期待値は、50円硬貨と100円硬貨の期待値の合計となります。

期待値 = 50円 + 150円 = 200円

次に、標準偏差を計算します。標準偏差は、各確率変数の値と期待値との差の二乗を重み付きで加算したものの平方根として求められます。まず、50円硬貨と100円硬貨それぞれの標準偏差を求め、その合成を計算します。

50円硬貨の標準偏差は、表が出る確率1/2と裏が出る確率1/2に基づいて計算されます。1枚の50円硬貨の場合、標準偏差は次のように求められます。

50円硬貨の標準偏差 = √[(1/2) × (50 – 0)² + (1/2) × (0 – 50)²] = √[(1/2) × 2500 + (1/2) × 2500] = √2500 = 50円

50円硬貨2枚の標準偏差は、2枚分を合計するため、50 × √2 = 約70.71円となります。

次に、100円硬貨の標準偏差を求めます。

100円硬貨の標準偏差 = √[(1/2) × (100 – 0)² + (1/2) × (0 – 100)²] = √[(1/2) × 10000 + (1/2) × 10000] = √10000 = 100円

100円硬貨3枚の標準偏差は、3枚分を合計するため、100 × √3 = 約173.21円となります。

最終的な金額の標準偏差は、50円硬貨と100円硬貨の標準偏差を合成することで求められます。合成の方法は、次のように計算します。

標準偏差 = √[(70.71)² + (173.21)²] = √[5000 + 30000] = √35000 ≈ 187.08円

50円硬貨2枚と100円硬貨3枚を投げたとき、表の出た硬貨の金額の和の期待値は200円、標準偏差は約187.08円となります。確率と期待値、標準偏差を理解することで、様々な確率問題を解く力が身につきます。