高校数学Aの確率に関する問題で、AさんとBさんがくじを引く場合の期待値について考えます。この問題では、AさんとBさんの期待値が同じかどうかを求めるのが主なポイントです。問題文には、Aさんがくじを1枚引き、その後にBさんが残りのくじを引くという設定があります。
1. 期待値の基本概念
期待値とは、確率的な出来事の「平均的な結果」を示すものです。数式で表すと、期待値は各結果に確率を掛け、その総和を取ったものです。一般的に、期待値は次のように求めます。
期待値 = Σ(結果 × 確率)
2. Aさんの期待値の計算
Aさんが引くくじの期待値を求めるためには、Aさんが引くくじの各金額に確率を掛け、その合計を求めます。問題文にあるくじの内訳は以下の通りです。
- 1000円のくじ：1枚
- 500円のくじ：3枚
- 0円のくじ：6枚
したがって、Aさんの期待値は次のように計算されます。
期待値 = (1000 × 1/10) + (500 × 3/10) + (0 × 6/10) = 100 + 150 + 0 = 250円
3. Bさんの期待値の計算
Bさんは、Aさんが引いた後のくじを引くことになります。つまり、Bさんの引くくじは条件付きの確率を考える必要があります。Aさんが引いたくじによって、Bさんが引くくじの種類と確率が変わります。
まず、Aさんが引いたくじに応じた場合分けを考えます。
- Aさんが1000円を引いた場合、Bさんが引くくじの内訳は：500円が3枚、0円が6枚
- Aさんが500円を引いた場合、Bさんが引くくじの内訳は：1000円が1枚、500円が2枚、0円が6枚
- Aさんが0円を引いた場合、Bさんが引くくじの内訳は：1000円が1枚、500円が3枚、0円が5枚
Bさんの期待値は、これらのケースをそれぞれ計算し、Aさんの引いたくじの確率を考慮して求めます。
期待値 = (1000 × 3/9) + (500 × 2/9) + (0 × 5/9) = 333.33 + 111.11 = 444.44円
4. AさんとBさんの期待値の違い
計算の結果、Aさんの期待値は250円、Bさんの期待値は約444.44円となり、AさんとBさんの期待値は異なることがわかります。Bさんの期待値が高い理由は、Bさんがくじを引くとき、Aさんが引いた後に残っているくじの内訳が影響しているためです。
5. まとめ
この問題では、AさんとBさんの期待値が異なる理由を理解するために、確率の計算方法と条件付き確率の考え方を使いました。Aさんの期待値は250円、Bさんの期待値は約444.44円となり、条件によって期待値が変動することが確認できました。
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