三角関数の半角公式は、三角関数の基本的な公式を理解するうえで非常に重要です。今回は、sin²θ = 1/2 – cos2θ/2 という式から半角公式を導出する方法について解説します。この式がどのように半角公式に繋がるのか、その数学的背景を説明します。
半角公式とは？
三角関数の半角公式とは、角度を半分にする操作に関連する公式です。例えば、sin(θ/2) や cos(θ/2) のような関数を求めるための公式です。これらは、三角関数の合成や変換を行う際に非常に便利です。
半角公式は次のように表されます。
- sin(θ/2) = ±√((1 – cosθ)/2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ)/2)
sin²θ = 1/2 – cos2θ/2 からの導出
質問にあった「sin²θ = 1/2 – cos2θ/2」という式から、半角公式を導くには、まず三角関数の加法定理を利用します。
加法定理によると、cos(2θ) = 1 – 2sin²(θ) という関係が成り立ちます。この式を用いて、sin²θをcos(2θ)の形に変形することができます。
sin²θ = (1 – cos(2θ))/2 という形になります。これが、sin²θに関する半角公式の導出に繋がります。なぜこの式が成立するのかは、三角関数の定義と加法定理に基づいています。
感覚的な理解：なぜマイナスではなくプラスなのか？
半角公式の導出で出てくるプラスの符号について、なぜマイナスではないのかという点に疑問があるかもしれません。
この点については、加法定理を使うことで明確になります。cos(2θ) の式が 1 – 2sin²(θ) という形になっており、これを整理して sin²(θ) を求めるときに自然に +1 の形が現れるためです。プラスが現れる理由は、三角関数の定義と加法定理に従った結果であり、計算式を変更する必要はありません。
まとめ
sin²θ = 1/2 – cos2θ/2 から半角公式を導出する過程は、三角関数の加法定理に基づいた簡単な変形で理解できます。計算過程で現れるプラスの符号は、三角関数の性質に従った結果です。これを理解することで、他の三角関数の公式や応用にも役立つ知識となります。
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