グラフの平行移動において、x方向やy方向にどのように移動するかを理解することは、関数の変形にとって非常に重要です。特に、y-2 = a(x-3)^2 のような式が表す意味について、なぜxの値を3だけずらすときにマイナスが必要なのかがわからないという疑問があります。この記事では、その数学的な理由を詳細に解説します。
平行移動とは？
関数の平行移動は、グラフをx軸やy軸に沿って移動させる操作です。x軸方向やy軸方向に移動させると、関数の形状はそのままで、位置だけが変化します。例えば、y = x^2 という関数がある場合、これを平行移動するときは、式にxやyの変数を足したり引いたりすることで位置を変えます。
y = a(x-h)^2 + k という式で表される放物線では、hとkの値が平行移動を表します。具体的には、hがx方向、kがy方向の移動を示します。
なぜマイナスになるのか？
質問にあった式 y-2 = a(x-3)^2 では、xを3だけ動かすことを示すために、(x-3) の形になっています。この形式は、グラフを右に3単位移動させることを意味します。
では、なぜ「-3」なのかというと、xの値を3だけ増加させるためには、xから3を引かなければならないからです。もし「+3」だった場合、xを右に動かすのではなく、左に動かすことになります。数式で言うと、(x + 3) の形になり、これではx軸方向に負の方向、つまり左に動いてしまうのです。
感覚的に理解するための例
感覚的に理解するために、簡単な例を考えてみましょう。もし、y = (x-3)^2 のグラフがあったとします。このグラフは、x = 3 の位置を頂点として放物線を描いています。
次に、このグラフを右に3単位だけ移動させると、頂点の位置がx = 3 からx = 6 へと変わります。式で言うと、y = (x-6)^2 となり、xの値が3から6に移動したことがわかります。このように、xの変数が（x-h）の形で表されると、グラフはhの方向に移動します。
まとめ
y-2 = a(x-3)^2 の式でのマイナス符号は、x軸方向に3単位右に平行移動することを意味しています。これは、xの値を増加させるためには、数式的にxから引く必要があるためです。+3ではなく-3になる理由は、右方向に移動するために必要な操作だからです。これを理解することで、他の平行移動に関する問題にも応用できるようになります。
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