高校数学の積分問題で、途中式をしっかりと記述することは重要です。ここでは、よく出題される積分の問題を3つ取り上げ、それぞれの解法と途中式を詳細に説明します。問題は次の通りです。
(1) (logx)² の積分
(2) 1 / e^x + 1 の積分
(3) sin2x * cos²x の積分
(1) (logx)² の積分
まず、積分 (logx)² dx を解きます。最初に積分の計算を簡単にするために部分積分を使用します。
部分積分の公式：∫u dv = uv – ∫v du を使うために、u = (logx)² とおき、dv = dx とします。
まず、u の微分と、v の積分を求めます。
du = 2 * logx * (1/x) dx, v = x
これを部分積分の公式に代入すると。
∫ (logx)² dx = x * (logx)² – ∫ x * 2 * logx * (1/x) dx
次に、残りの積分を解きます。
∫ 2 * logx dx = 2 * ∫ logx dx = 2 * (x * logx – x) = 2x * logx – 2x
最終的に、(logx)² の積分は。
∫ (logx)² dx = x * (logx)² – 2x * logx + 2x + C です。
(2) 1 / (e^x + 1) の積分
次に、積分 1 / (e^x + 1) dx を解きます。まず、e^x + 1 の形に注目して、この積分は標準的な形に変形できます。
この場合、直接の積分は難しいので、代入法を使います。u = e^x とおき、du = e^x dx となります。
この代入を用いると、積分は次のようになります。
∫ 1 / (e^x + 1) dx = ∫ 1 / (u + 1) * (1/u) du
この積分を解くと、結果は。
∫ 1 / (e^x + 1) dx = ln|e^x + 1| + C です。
(3) sin2x * cos²x の積分
最後に、sin2x * cos²x の積分を解きます。この積分も標準的な三角関数の積を扱う問題です。まず、cos²x を変形するために三角恒等式を使います。
cos²x = (1 + cos2x) / 2
これを積分式に代入して計算します。
∫ sin2x * cos²x dx = ∫ sin2x * (1 + cos2x) / 2 dx
これを展開すると。
∫ (sin2x / 2) dx + ∫ (sin2x * cos2x / 2) dx
まず、第一項を解きます。
∫ sin2x / 2 dx = -cos2x / 4 + C
次に、第二項は部分積分を使って解きます。最終的な解は。
∫ sin2x * cos²x dx = -cos2x / 4 + sin2x * cos2x / 4 + C です。
まとめ
以上の積分問題の解法を通じて、積分の基本的なテクニック、特に部分積分や三角関数の恒等式を使った積分法を学びました。各問題において、途中式をしっかりと書くことが解答の正確さに繋がります。数学の問題を解く力をつけるためには、何度も練習して定着させることが大切です。
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