三角形ABCがあり、それぞれAB=5, AC=5, CB=2という条件で、外接円の中心をO、半径をRとします。点Pは円O上の、点Bを含まない方の弧AC上にあり、P＝CPとなるように取られています。そして、線分OPと辺ACとの交点をHとしたとき、OHの長さはx/yRで表されるという問題です。ここでは、この問題を解くためのポイントと解法を詳しく説明します。
1. 問題の整理と準備
まず、三角形ABCは二等辺三角形です。AB=AC=5という条件から、点Aを頂点とする二等辺三角形であることがわかります。次に、外接円の半径Rを求めるためには、三角形の面積を求め、その後、外接円の半径を計算する方法が有効です。
また、点Pは円O上であり、条件P＝CPは点PがCと等距離にあることを意味しています。この情報を基に、図形の性質を活用して解答に繋げていきます。
2. 外接円の中心と半径
外接円の中心Oと半径Rは、三角形ABCの外接円を求めることで得られます。外接円の半径Rは次の式で求めることができます。
R = (abc) / (4S)
ここで、a, b, cは三角形ABCの辺の長さで、Sは三角形の面積です。面積Sは、ヘロンの公式を用いて求めることができます。
3. 点PとOPの関係
点Pは弧AC上にあり、P＝CPという条件から、点Pは点Cからの等距離にある点です。このため、三角形APCと三角形BPCの性質を考慮することができます。OPとACとの交点Hが重要な点で、線分OPがACと交わる位置に注目します。
4. OHの長さの求め方
OHの長さは、図形の特性を利用して計算します。最終的にOHの長さは、x/yRの形で表されることが求められます。この部分では、三角形ABCの性質と外接円の特徴を踏まえ、計算を進めます。
5. まとめと解答
この問題を解くためには、まず外接円の半径を求め、点Pの位置関係を考慮したうえで、OHの長さを求めます。最終的に、OHの長さはx/yRの形で求められ、xとyの値が導かれます。具体的な計算により、x=2、y=3となり、OHの長さは2/3Rとなることがわかります。
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