数学において、曲線の概形を描く問題やリミットを求める問題は、少し難しく感じることがあります。特に「lim x→∞ y = ∞」や「lim x→-1+0 y’ = -∞」といった式の意味がわからない場合も多いでしょう。この記事では、これらのリミットの意味をわかりやすく解説し、曲線Cの概形を理解できるように丁寧に説明します。
曲線Cの方程式とその概形
まず、与えられた曲線Cの方程式はy² = x²(x + 1)です。これを簡単に整理すると、y² = x³ + x²となります。この方程式を基に、yとxの関係を理解していきましょう。
y² = x³ + x²という式を解くと、y = ±√(x³ + x²) となります。この式から、yの値はxの値に依存しており、xがどのように変化するかによってyの値も変動します。次に、xが無限大や特定の値に近づくとき、yがどのように変化するかを見ていきます。
lim x→∞ y = ∞ の意味
lim x→∞ y = ∞ という式は、xが無限大に近づくとき、yの値が無限大に向かうことを意味します。具体的には、xが非常に大きな値（正の無限大）に近づくと、x³ + x²の値も非常に大きくなり、その平方根を取るyの値もどんどん大きくなります。
例えば、x = 1000 のときに y = √(1000³ + 1000²) と計算すると、y は非常に大きな値になります。xがさらに大きくなると、yの値もどんどん大きくなるため、「yは無限大に向かう」という意味になります。
lim x→-1+0 y’ = -∞ の意味
次に、lim x→-1+0 y’ = -∞ という式の意味について考えます。ここでy’は曲線Cの接線の傾きを表しており、x = -1 に近づくときのyの変化の速度を示しています。
x = -1 に非常に近い値、つまりxが-1の右側（x → -1+）に近づくとき、曲線Cの傾きが急激に減少し、y’が非常に小さな負の値に向かいます。そのため、接線の傾きは負の無限大に近づきます。この現象は、xが-1に近づくと曲線の傾きが急激に変化することを示しており、数学的には「-∞」と表されます。
曲線Cの概形を描く
曲線C:y² = x³ + x² の概形を描くためには、まずxの範囲を考えます。xが無限大に近づくとyも無限大に向かい、xが-1に近づくとyの変化が急激になります。xが0の近くでyの値を求めると、y = 0 となり、x = 0 で曲線が通過することがわかります。
実際にグラフを描くと、曲線は原点付近で比較的平坦であり、xが正の無限大に向かうと急激にyが大きくなる一方、xが負の方向に近づくと急に傾きが変わる特徴があります。
まとめ
「lim x→∞ y = ∞」や「lim x→-1+0 y’ = -∞」という式は、xの値に対するyの変化の仕方を示しています。無限大に近づくとき、または特定のxの値に近づくときの挙動を理解することで、曲線の形や特性を深く理解することができます。この知識は、数学的な理解を深めるための重要なステップです。
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