「−x³ + 3x = k」の式について、kの値が−2 < k < 2のときに、この方程式の実数解がいくつ存在するかを求める方法を解説します。この問題を解くためには、関数のグラフを描き、解の個数を調べるアプローチを取ります。
1. 方程式の基本形を理解する
まず、与えられた方程式は「−x³ + 3x = k」という形です。この方程式は、kの値に応じて解の個数が変わります。この式を変形すると、−x³ + 3x – k = 0 となります。この式は、kの値によって関数のグラフがどのように変わるかを調べることができます。
2. 関数f(x) = −x³ + 3xのグラフを描く
この方程式の解の個数を調べるために、まずf(x) = −x³ + 3xという関数をグラフにプロットします。この関数は三次関数であり、x = 0を中心に左右対称な性質を持っています。
関数の傾きやゼロ点を調べることで、kの範囲内で解がいくつ存在するかが分かります。具体的には、この関数のグラフがy = kと交わる点を求めます。
3. kの範囲−2 < k < 2での解の個数
次に、kが−2から2の間である場合の解の個数を求めます。kの範囲において、グラフがy = kにどのように交差するかを調べます。この時、関数f(x)のグラフがkの範囲で何回x軸と交わるかが重要です。
f(x) = −x³ + 3xのグラフは、kが−2 < k < 2の範囲で必ず3つの解を持つことがわかります。これにより、kの範囲内での解の個数は3個であることが確認できます。
4. 解の個数を確認するための重要なポイント
解の個数を確定するためには、関数の挙動をしっかりと理解することが大切です。−x³ + 3x = kという方程式において、関数のグラフはkの範囲内で最大で3つの交点を持ちます。これらの交点が解となり、実際にその個数が求められます。
まとめ
この問題では、−x³ + 3x = kの解の個数を求めるために、関数のグラフを利用して解の個数を調べました。kが−2 < k < 2の範囲では、関数のグラフが必ず3つの解を持つことが確認できました。このように、数学の問題ではグラフを使った視覚的なアプローチが非常に効果的です。
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