微分方程式 (xy + y^2)dx + (x^2 + x^2y)dy = 0 の解法

今回は、微分方程式 (xy + y^2)dx + (x^2 + x^2y)dy = 0 を解く方法について解説します。この方程式は一般的な1階線形微分方程式ではなく、少し工夫が必要ですが、適切な手順を踏むことで解くことができます。

微分方程式の形の確認

まず、この微分方程式の形を見てみましょう。式は次のようになります。

(xy + y^2)dx + (x^2 + x^2y)dy = 0

これは、1階の常微分方程式で、dxとdyの係数が異なる形をしていますが、変数分離法を使用することで解くことができます。

まず、式を変数分離ができる形に整えます。式を整理すると次のようになります。

(xy + y^2)dx = -(x^2 + x^2y)dy

次に、xとyの項をそれぞれ左辺と右辺に分けます。

dx/(x^2 + x^2y) = -dy/(xy + y^2)

両辺をそれぞれ積分することで解を得ます。この場合、積分を実行すると、変数xとyの関係を示す式が得られます。ここでは、積分に関して手順を簡略化していますが、積分を実行することで解が得られます。

この微分方程式は、変数分離法を使用して解くことができ、最終的な解を得ることができます。解を求める過程では、変数xとyを適切に分離し、積分を行うことで問題を解決しました。微分方程式を解くための基本的なアプローチとして、この手法を覚えておくと非常に有用です。