複素数平面における解の共役と対称性の理解 - 複素数方程式の解法

複素数平面での解の対称性と解の共役について理解するために、今回は「z6乗 + 6z3乗 + 8 = 0」という方程式の解について解説します。特に、解が共役になる理由や、円に示した解の対称性を理解するために必要な考え方を詳しく説明します。

問題の整理

問題では、次の方程式の解を求めています。

z6乗 + 6z3乗 + 8 = 0

まず、z3乗を新しい変数と置き換え、方程式を簡略化します。

z3乗 = -2 ± 2i

次に、このz3乗の解を極形式に変換します。複素数を極形式で表現するためには、zの絶対値と偏角（θ）を求める必要があります。

z3乗 = -2 ± 2i の解は、極形式で表すと以下のようになります。

|z3乗| = √((-2)² + (2)²) = √8 = 2√2

また、偏角θは次のように求めます。

θ = tan⁻¹(2/-2) = -π/4 です。

z3乗 = -2 + 2i の解と -2 – 2i の解は、それぞれ複素平面上でy軸を中心に対称的になります。このため、zの解も共役になるという性質を持っています。

具体的には、解がz = 3つ得られる場合、3つの解は対称的に配置され、y軸に対して共役な関係を持つことが確認できます。

円に示した解では、3つの解がy軸に対して対称に配置されることがわかります。これは、z3乗 = -2 ± 2i の解が、複素平面上でy軸を中心に反転することを意味します。

結果的に、z3乗の解がy軸に対して対称的に配置されるため、解が共役となるという現象が生じます。

複素数の解が共役になる理由は、解の配置が複素平面上で対称的であり、特にy軸を中心に反転する性質に関連しています。z3乗の解を極形式で表すことによって、この対称性と共役の関係が明確になります。複素数の解法で解の共役が現れる理由を理解することは、円や対称性の概念を深めるために重要です。