微分方程式 xy y'' = y'(xy' - y) の解き方

「xy y” = y'(xy’ – y)」という微分方程式の解き方について解説します。この式は高次の常微分方程式であり、解くためには適切な変形や計算のステップが必要です。以下でその解法を段階的に説明します。

1. 微分方程式の整理

まず、与えられた式「xy y” = y'(xy’ – y)」を整理します。この式では、y’とy”が含まれていますので、それぞれの項を展開していきます。

展開すると、右辺がy'(xy’ – y)となり、これを分配法則で展開して、式が次のように書き直されます。

xy y” = x y’^2 – y y’

次に、この式を変数分離法に持ち込む方法を考えます。y, y’などの項が含まれているため、yについての微分方程式に変換できる可能性があります。

この式を変数分離できる形に変形するためには、まず両辺をy’で割り、必要な形に変形します。すると次のような式が得られるはずです。

xy y” – x y’^2 + y y’ = 0

ここで重要なのは、この式が何らかの積分可能な形に変形できることです。変数分離法に近い形にしたり、適切な代数的操作を用いて積分できるように式を整理することが次のステップです。

具体的な解法としては、いくつかの方法（例えば、補助変数を使った方法や、式を一旦部分積分して解く方法）を試す必要があります。問題に応じて、最も簡単に解ける方法を選択することが重要です。

最終的に、与えられた微分方程式を解くことで、yの関数として解を得ることができます。解が得られた後は、その解が問題の条件を満たすかを確認することが重要です。

微分方程式「xy y” = y'(xy’ – y)」の解法は、まず式を整理し、その後適切な方法で変数を分離したり、代数的に操作することで解を導きます。微分方程式を解く際には、適切な変形を加えることと、解法のアプローチを理解することが解の発見に繋がります。