高校数学Ⅰで学ぶ三角比は「直角三角形」を前提として公式化されています。例えば、p＝r cosθやq＝p tanθといった関係式は便利ですが、「なぜ直角三角形のときだけ成り立つのか？」と疑問を持つ人も多いでしょう。この記事では、その理由をわかりやすく解説し、さらに三角比を一般角へ拡張する考え方も紹介します。
1. 三角比の基本は直角三角形の辺の比
三角比（sin, cos, tan）はそもそも直角三角形を使って定義されます。角θを1つ決めると、その角に対応する「直角三角形の辺の比」が一定の値になることから定義が可能となります。
例えば、cosθは「隣辺/斜辺」、sinθは「対辺/斜辺」として定義されています。ここで「斜辺」という言葉がある以上、直角三角形でなければ定義できないのです。
2. なぜ直角でない三角形では使えないのか
直角三角形でなければ「隣辺・対辺・斜辺」という区別が曖昧になります。例えば鋭角三角形や鈍角三角形では「直角に対する辺」が存在しません。そのため、三角比をそのままの形で使うことはできないのです。
したがって、p＝r cosθのような関係は直角三角形に限定されます。ここでrは斜辺、pはx座標や底辺にあたる長さを意味しているのです。
3. 単位円を使えば直角三角形以外でも使える
高校数学ではさらに発展させて、「単位円」を用いて三角比を一般角にまで広げます。単位円の考え方では、角度θに対して点の座標(x, y)を対応させ、
- cosθ = x座標
- sinθ = y座標
- tanθ = y/x
と定義できます。これにより、直角三角形を作れないような角度（90°を超える角や負の角度）でも三角比を扱えるようになるのです。
4. 実生活での直角三角形と三角比
例えば、建物の高さを測るとき、地面に垂直な直角を利用して三角比を使います。このように「直角があるからこそ比を定義できる」というのが本質です。
一方で、三角関数を工学や物理で使う場合は単位円による拡張が必須で、波や回転運動を表すときにも使われます。
まとめ
三角比が直角三角形に限定される理由は、「隣辺・対辺・斜辺」という明確な区別が直角三角形にしか存在しないからです。ただし、その後の学習では単位円を使うことで一般角に拡張でき、三角関数として応用の幅が一気に広がります。基礎を理解した上で、段階的に応用へと進むことが重要です。
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