確率論: くじ引きゲームでの終了確率を求める方法

この問題は、くじ引きのゲームにおける確率を求める問題です。特に、4本のうち1本が当たりのくじを引くゲームで、指定された回数以内に終了する確率を計算します。以下に、問題の解法を段階的に解説します。

1. 問題の設定と基本的な考え方

このゲームでは、4本のうち1本が当たりのくじです。プレイヤーは何回かくじを引き、3回当たりを引くことでゲームが終了します。ゲームが終了する確率を求めるには、くじを引く回数や当たりが出る確率を考慮する必要があります。

まず、1回あたりの当たりの確率は1/4です。ゲーム終了の条件は、当たりを3回引くことです。この条件を満たすためには、最初の10回以内で3回当たりを引く必要があります。これは二項分布の問題となり、計算には二項分布の確率質量関数を使用します。

具体的な計算方法は、n回以内に3回当たりが出る確率を求め、計算結果を足し合わせていきます。これには組み合わせの公式と二項分布の確率を活用します。

次に、一般的なn回以内でゲームが終了する確率を求めます。これは、n回以内に3回の当たりが出る確率を計算する問題です。ここでも二項分布を利用して、n回以内に当たりを3回引く確率を求めます。

この場合も、当たりを引く確率が1/4であることを考慮して、確率質量関数を使って計算します。n回以内で終了するためには、当たりの回数が指定された回数に達する確率を求め、その結果を加算していきます。

この問題では、くじ引きの確率を計算するために、二項分布と確率質量関数を使用しました。10回以内にゲームが終了する確率や、一般的なn回以内に終了する確率を求めることができました。確率論の基本的な手法を使って、ゲームの終了確率を計算する方法を理解することができました。