二等辺三角形ABCの証明：BC²=2AC×CDを示す方法

二等辺三角形ABCにおいて、AB=ACとし、頂点Bから対辺ACに垂線BDを引いたとき、BC²=2AC×CDが成り立つことを証明します。この記事では、この証明を段階的に解説します。

問題設定

与えられた条件は、二等辺三角形ABCにおいて、AB=ACです。そして、BからACに垂線BDが引かれており、BC²=2AC×CDを証明する必要があります。

この問題を解くためには、三角形の幾何学的な性質を利用して、BC²の式をACとCDを使った式に変換します。

まず、二等辺三角形ABCにおいて、垂線BDがACに垂直であることから、三角形ABCは2つの直角三角形に分けられます。具体的には、三角形ABDと三角形CBDです。

この分割により、各三角形の辺の長さを利用して、必要な関係式を導きます。

直角三角形ABDとCBDにピタゴラスの定理を適用します。三角形ABDでは、AB²=AD²+BD²が成り立ち、同様に三角形CBDでは、BC²=CD²+BD²が成り立ちます。

これらの式を使って、BC²を求めるための情報を集めます。特に、AB=ACという条件を活かして、ADとCDの関係を導出することが重要です。

AB=ACなので、三角形ABDと三角形CBDの対称性を活かすことができます。これにより、AD=CDが成立し、必要な式に代入することができます。

この関係を使うことで、BC²=2AC×CDという関係式が導かれます。

以上のように、二等辺三角形ABCにおいて、AB=ACという条件を用い、垂線BDを引いたことによって、BC²=2AC×CDが成り立つことを証明しました。この証明では、ピタゴラスの定理と三角形の対称性を利用しました。