不等式 log₂(4−x²−y²)＜1 の解き方と x−y の値の範囲の求め方

本記事では、不等式 log₂(4−x²−y²)＜1 の解き方について詳しく解説します。特に、この不等式が成り立つときに x−y の値がどのように求められるかについて、ステップバイステップで説明します。

問題の理解

与えられた不等式は、log₂(4−x²−y²)＜1 です。この式において、log₂ は2を底とする対数を示しており、式の中身である 4−x²−y² が正の値である必要があります。まず、この不等式を解くための前提条件とステップを整理しましょう。

まず、log₂(4−x²−y²)＜1 の不等式を変形します。対数の性質を用いて、log₂(a)＜1 の場合、a＜2 となります。したがって、次のように式を変形できます。

4 − x² − y² ＜ 2

次に、この式から x² + y² の部分を分離して整理します。

x² + y² ＞ 2

x² + y² ＞ 2 という式は、xy平面上で、原点を中心に半径√2の円の外側に位置する領域を表しています。この領域を考慮することで、x と y の値がどのように制約されるかがわかります。

次に、x−y の値を求めるために、この領域をさらに解析します。x−y の値を求めるには、x と y の関係式を解いていく必要があります。具体的な求め方としては、x と y の値の差がどのように制約されるかを考えます。

具体的には、x−y が取ることができる範囲を求めるために、いくつかのx, yの値を代入して、最小値と最大値を求めるアプローチが必要です。

不等式 log₂(4−x²−y²)＜1 を解くと、x² + y² ＞ 2 の条件が得られます。この条件をもとに、x−y の値の範囲を求めることができ、最終的に x−y の範囲が求められます。具体的な計算過程を追うことで、与えられた不等式の解を導き出すことが可能です。