y=abs(x²-1)とy=x-1の交点と接点の違いを解説

数学

2025.10.19

問題にある「y=abs(x²-1)」と直線「y=x-1」の交点(1,0)について、交点と接点の違いを理解することが重要です。この記事では、これらのグラフの関係性を明確にし、(1,0)が交点か接点か、もしくはどちらでもないかを解説します。

1. グラフの基本的な形状

まず、関数「y=abs(x²-1)」は絶対値関数で、x²-1が0以上のときはそのままy=x²-1となり、0未満のときはy=-(x²-1)となります。この関数は、x=±1で頂点を持つV字型のグラフを描きます。

一方、直線「y=x-1」は、傾き1の直線で、y切片が-1となっています。この直線は、x軸を1つの点で通過し、y軸では-1の位置を通ります。

交点とは、2つのグラフが異なる点で交わる点のことを指します。接点とは、グラフが接触しているが交わらない、つまり接線が存在する点を指します。

交点の場合、グラフは2つの異なる方向に進んでいるため、完全に交わりますが、接点の場合は、グラフが単に1点で接しており、そこでは接線が共通します。

「y=abs(x²-1)」と「y=x-1」のグラフが交わる点は(1,0)です。この点において、関数y=abs(x²-1)のグラフはx=1でV字型の角を作り、直線y=x-1はその点を通過します。

ここで注意すべきなのは、関数y=abs(x²-1)がx=1で急激に変化するため、(1,0)で接しているように見えるものの、実際には2つのグラフは異なる方向に進んでおり、完全に交わっているわけではないという点です。

この場合、(1,0)は交点であり、接点ではありません。なぜなら、y=abs(x²-1)のグラフはx=1で角を作り、直線y=x-1がその点を通過するものの、グラフの進み方が異なるため、単に接するのではなく、交差しているからです。

したがって、(1,0)は「交点」と呼ぶべきであり、接点とは呼びません。

グラフy=abs(x²-1)と直線y=x-1の交点(1,0)は、交点として扱うべきであり、接点ではありません。接点と交点の違いを理解することで、グラフの性質や関数の挙動をより深く理解することができます。