条件付き確率の求め方：赤玉と白玉の問題を解く

条件付き確率の問題で、玉を1個取り出す問題があります。例えば、赤玉①②、白玉①②③④が入った袋から1個の玉を取り出し、条件に基づいて確率を求める問題です。ここでは、取り出した玉が白玉である事象Aと、番号が奇数である事象Bに対する条件付き確率PA(B)の求め方を解説します。

問題の整理

問題は、次のように整理できます。

このような場合、条件付き確率PA(B)は、「事象Aが起こった場合に、事象Bが起こる確率」を求めるものです。

条件付き確率PA(B)は、次の式で求めることができます。

PA(B) = P(A ∩ B) / P(A)

ここで、P(A ∩ B)は「事象AとBが同時に起こる確率」、P(A)は「事象Aが起こる確率」です。

まず、事象Aが起こる確率P(A)を求めます。白玉は①、②、③、④の4つの玉のうち、白玉は4つです。したがって、

P(A) = 4/8 = 1/2

次に、事象AとBが同時に起こる確率P(A ∩ B)を求めます。番号が奇数の白玉は①、③の2つです。したがって、

P(A ∩ B) = 2/8 = 1/4

PA(B)を求めるためには、P(A ∩ B)をP(A)で割ります。

PA(B) = P(A ∩ B) / P(A) = (1/4) / (1/2) = 1/2

条件付き確率PA(B)は、1/2となります。この問題では、白玉のうち、番号が奇数の玉を取り出す確率は1/2であることがわかりました。条件付き確率を求める際は、事象AとBが同時に起こる確率と、事象Aが起こる確率をそれぞれ求めてから、公式に当てはめて計算します。