導関数の応用：単調増加の判断方法と問題解法のステップ

高校数学

2025.10.19

導関数を使って関数の単調性を判断する方法について解説します。特に、y’ > 0 となるときの単調増加をどのように判断するのか、平方完成の必要性についても詳しく説明します。また、具体的な例題を通して理解を深めていきます。

導関数と単調増加の関係

導関数 y’ が正の値を取るとき、その関数 y(x) は単調増加していることがわかります。これは、関数の傾きが常に正であることを意味し、グラフは左から右に向かって増加します。一方、y’ が負の値を取る場合は、関数は単調減少しています。

単調増加を判定するために毎回平方完成を使う必要はありませんが、場合によっては必要になることがあります。特に二次式や複雑な式の場合、平方完成を使うことで導関数を簡単に解釈できる場合があります。例えば、x² + 2x のような式では、平方完成をすることで解を簡単に求めることができます。

与えられた式 y’ = (x + 1)(3x + 1) について考えます。まず、この式が y’ > 0 となる範囲を求めます。

式を展開すると、y’ = 3x² + 4x + 1 となります。この式が正であるためには、3x² + 4x + 1 > 0 となる必要があります。これは二次関数であり、判別式を用いて解を求めることができます。

判別式 D = 4² – 4 × 3 × 1 = 16 – 12 = 4 となり、D > 0 なので実数解が2つ存在します。この解を求めると、y’ は0より大きい領域がわかります。

次に、x³ + 4x² + 6x – 1 = 0 の実数解の個数を求める問題についてです。この場合、まず導関数を求めて、関数の単調性を調べます。単調増加または単調減少を調べることで、解の個数を特定できます。

具体的には、導関数を使って関数の増減を確認し、その後で実数解の個数をグラフで確認することができます。解が何個存在するかを視覚的に確認するためにも、グラフを描くことが有効です。

導関数を使って関数が単調増加または単調減少しているかを判断する際には、y’ > 0 か y’ < 0 を確認します。平方完成は必要に応じて行い、解が必要な場合に使います。問題ごとに適切な方法を選び、導関数の計算や判別式を活用して解を求めることが重要です。