「x＜0またはy＜0」→「x+y＜0」という命題について、なぜその真偽が偽となるのか、またその逆命題について理解を深めていきましょう。この問題を解くために必要な論理的思考と反例について解説します。
命題「x＜0またはy＜0」→「x+y＜0」の意味
まず、命題「x＜0またはy＜0」→「x+y＜0」を理解するために、左辺と右辺をしっかり整理しましょう。この命題は、「xが0より小さい、またはyが0より小さいならば、xとyの和が0より小さい」という意味です。
言い換えると、xまたはyのいずれかが負の数である場合、x + yの結果が負になるということです。しかし、この命題が真かどうかを確認するために、反例を考える必要があります。
反例を使って命題が偽であることを証明
この命題が偽であることを示すために、反例を一つ挙げてみます。例えば、x = -1 と y = 2 の場合を考えます。この時、xは負の数であり、yは正の数ですが、x + y = -1 + 2 = 1 です。この結果は0より大きいため、「x + y＜0」という右辺の命題が成立しません。
このように、x = -1 と y = 2という組み合わせでは、「x＜0またはy＜0」は真であるにもかかわらず、「x + y＜0」は偽であるため、元の命題は偽であると結論できます。
逆命題について考える
次に、この命題の逆命題について考えます。逆命題は「x + y＜0 → x＜0またはy＜0」となります。この命題は、xとyの和が負であれば、xまたはyのいずれかが負であるというものです。
逆命題の真偽を調べるには、まずその命題が成立する例を見つけることが重要です。例えば、x = -3 と y = -2 の場合、x + y = -3 + (-2) = -5 です。これは明らかに負の数なので、この場合には逆命題が成立します。
逆命題が成立する理由
逆命題が成立する理由は、xとyの和が負であるならば、少なくとも一方が負でなければ、和が負にはならないからです。つまり、xとyがどちらも正の数であれば、x + yは必ず正になります。したがって、x + yが負であるならば、xまたはyが負である必要があります。
まとめ
「x＜0またはy＜0」→「x+y＜0」という命題は、反例を使って偽であることが確認できました。反例として、x = -1 と y = 2 を取ると、「x＜0またはy＜0」は成立するにもかかわらず、「x+y＜0」は成立しません。一方、逆命題「x + y＜0 → x＜0またはy＜0」は成立し、数学的に証明できます。このように、命題の真偽を確認するためには反例を用いることが有効です。
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