群数列の問題解法：第n群の初項と末項を求める方法

群数列の問題について、特に「第n群の初項と末項をnを用いて表す」方法や「指定された数が第何群の第何項か」を求める方法について解説します。今回は、具体的な例を使って解説を行います。

群数列の構造の理解

まず、与えられた群数列の構造を確認しましょう。数列は、次のように並んでいます：
1 | 2,3 | 4,5,6 | 7,8,9,10 | 11,・・・。
このように、各群に含まれる項目の数は順に増えていきます。第1群は1つの項、次に第2群は2つの項、第3群は3つの項、そして第4群は4つの項、というように続いていきます。

この規則に従って、問題を解くために必要な公式を導き出します。

問題1: 第n群の初項と末項を求める

第n群に含まれる項数はn個です。まず、第n群の初項と末項を求めるためには、群数列全体における各群の位置を把握する必要があります。

第1群の初項は1、末項も1です。第2群は2, 3の2つの項を含み、初項は2、末項は3です。このように、各群に含まれる項の数が1つずつ増えていくので、初項と末項をnを使って表現できます。

群数列の各群の初項は次のように計算できます。初項は、前の群までの項数を足し合わせたものです。つまり、第n群の初項は、1 + 2 + 3 + … + (n-1) までの項数に1を足した数です。この合計は、n(n-1)/2という式で求めることができます。

次に、n番目の群の末項は、初項にn-1を足した数です。これにより、初項と末項の関係がわかります。

問題2: 2025は第何群の第何項か

次に、指定された数2025が第何群の第何項かを求める方法を解説します。

まず、2025がどの群に含まれているかを計算するために、2025より小さい群の項数を求め、その合計が2025を超える最初の群を特定します。次に、その群の中で2025が何番目の項目にあたるかを調べます。

まとめ

群数列の問題は、まず各群の項目数が増加していく規則を理解し、その規則に従って初項と末項を求めることから始めます。今回の問題では、第n群の初項と末項をnを使って表し、特定の数がどの群のどの項目に当たるかを求める方法を学びました。