x + y + z + w = 10 の正の整数解の個数を求める方法

「x + y + z + w = 10 の正の整数解の個数を求める問題」に関して、正の整数解の数を求める方法を解説します。このような問題は、整数論や組み合わせ論に関連しています。

問題の理解

方程式 x + y + z + w = 10 は、4つの変数に対して合計が10となるような正の整数解を求める問題です。ここでのポイントは、変数が正の整数であることです。

正の整数解を求める場合、まずはそれぞれの変数に対して最小値を1としておき、次にその残りの部分を非負整数として分ける方法を考えます。

具体的には、各変数を1ずつ引いた新しい変数 a = x-1, b = y-1, c = z-1, d = w-1 を導入し、次のような式に変形します。

a + b + c + d = 6

この式は、4つの非負整数の和が6になるような解の個数を求める問題に帰着します。このような場合、分け方の数は「組み合わせの重複」の問題です。

組み合わせの問題を解くためには、「n個のものをk個の箱に分ける方法」の公式を使用します。公式は次の通りです。

組み合わせの個数 = (n + k – 1)C(k – 1)

ここで、n = 6、k = 4 となりますので、次のように計算します。

組み合わせの個数 = (6 + 4 – 1)C(4 – 1) = 9C3 = 84

したがって、x + y + z + w = 10 の正の整数解の個数は 84 です。

この問題は、組み合わせの基本的な考え方を用いて解くことができ、実際に問題を解くことで、整数の和に関する理解が深まります。整数解を求める問題には、このようなアプローチを使うことがよくあります。