ベクトルの問題：AB=aACからAB:BC=1:1-aが成り立つ理由

ベクトルの問題で、点A、点B、点Cが一直線上に並んでおり、AB=aACという条件からAB:BC=1:1-aが成り立つ理由について考察します。この記事では、この比率の成り立ちをわかりやすく解説します。

問題設定の確認

まず、点A、点B、点Cが一直線上に並んでいると仮定します。条件として、AB = aACという関係が与えられています。このとき、ABとBCの長さの比率がAB:BC = 1:1-a となる理由を理解するために、ベクトルを使って関係を整理しましょう。

AB = aACという関係は、点Bが点Aから点Cに向かってa倍の位置にあることを示しています。これは、ABとACがベクトルとして表され、AB = aACという式で表現されることに対応します。

ベクトルの関係を使って、ABとBCの比を求める方法を考えます。点Bは点Aから点Cに向かってa倍の位置にありますから、点Bを点Aと点Cの間の位置と見なすことができます。このとき、ABとACの長さの関係をもとに、BCの長さも求めることができます。

まず、AB = aAC から、点Bが点Aから点Cに向かってどれくらいの位置にあるかを示しています。次に、点Cまでの距離ACと点Bまでの距離ABの差を取ることで、BCの長さが得られます。BCはACからABを引いたものとして計算できます。

次に、ABとBCの比率を計算します。AB = aAC ですので、BCはAC – AB = AC – aAC = (1-a)AC となります。したがって、AB:BC = AB : (1-a)AC です。

AB = aAC ですから、AB:BC = aAC : (1-a)AC となり、ACが共通するため、最終的にAB:BC = a : (1-a) となります。この比率を簡略化すると、AB:BC = 1 : (1-a) となり、問題で求められているAB:BC = 1:1-aが成り立つことがわかります。

問題の設定でAB = aACが与えられた場合、点Bは点Aから点Cに向かってa倍の位置にあることを示しており、ABとBCの比はAB:BC = 1:1-aとして導くことができます。このように、ベクトルを使って点の位置関係を明確にし、長さの比率を求めることで、問題の答えを導くことができます。