積分における変数変換の理由とその活用：f(x) = e^(-x)•|sin(x)|の積分を解説

積分の問題で変数変換を使う理由について、特に「x – π = t」と置く理由を解説します。この記事では、積分の計算を簡単にするための変数変換の重要性とその手順を紹介し、f(x) = e^(-x)•|sin(x)|の積分問題を解く際の具体的な方法を詳しく説明します。

積分における変数変換の重要性

積分を解く際に変数変換を行う理由は、計算を簡単にしたり、積分範囲を適切に扱ったりするためです。特に三角関数や指数関数を含む積分では、変数変換が非常に有効です。

例えば、f(x) = e^(-x)•|sin(x)|という関数において、x = πの近辺で積分範囲を扱う際には変数変換が便利です。これにより、関数がより扱いやすくなり、計算を簡略化できます。

変数変換「x – π = t」の理由

積分の問題で「x – π = t」と置く理由は、積分範囲を変換して計算を簡単にするためです。積分の範囲が(n-1)πからnπに設定されているとき、x – π = tという置換をすることで、積分範囲が0からπに変わります。

この変換を行うと、積分範囲の変化に伴ってsin(x)の周期性を考慮しやすくなります。具体的に言うと、sin(x)はπの周期を持っているため、x – π = tと置くことで、計算が一周する範囲を簡単にカバーできます。

変数変換の適用例と計算

実際に変数変換を使うと、積分の計算がどのように簡単になるのかを見てみましょう。f(x) = e^(-x)•|sin(x)|の積分を考えると、x – π = tと置き換えた後、積分の範囲が0からπに変わります。この変換により、sin(x)の周期性が反映され、計算が簡潔になります。

具体的には、I(n)の式を次のように計算できます。t = x – πという変換により、元の積分範囲が0からπの範囲で扱えるようになり、さらに指数関数e^(-x)を扱う際の計算も容易になります。

積分の最終結果を得る方法

積分I(n)の値を求めるためには、変数変換を行い、積分の範囲を適切に設定した後、実際に積分を計算します。I(1)は既に与えられている通り、I(1) = 1/2{e^(-π) + 1}となります。

これに基づいて、他のI(n)の値を求めるには、積分範囲の変換後、変数tにおける積分計算を実行します。この方法を使うことで、I(n)の一般的な式が導かれます。

まとめ

積分の問題で「x – π = t」と置く理由は、積分範囲を扱いやすくし、三角関数の周期性を反映させるためです。この変数変換を使用することで、f(x) = e^(-x)•|sin(x)|の積分を簡単に解くことができ、結果的にI(n)の値を正確に求めることができます。変数変換を上手に活用することで、積分の計算がスムーズに進みます。