確率問題の解法：袋の中の玉の取り出し確率について

袋の中に青玉と赤玉がある場合に、玉を取り出す確率についての問題です。この問題は確率の基本的な概念を理解するために役立ちます。この記事では、特に「4回目に初めて赤玉が取り出される確率」「8回目までに赤玉がすべて取り出される確率」など、具体的な問題に対する解法を解説します。

問題の概要

袋の中には青玉が7個、赤玉が3個あります。玉を1回取り出すたびに袋に戻さない設定です。ここで、3つの確率問題を解いていきます。

(1) 4回目に初めて赤玉が取り出される確率

4回目に赤玉が初めて取り出される確率を求めるためには、最初の3回に青玉が取り出され、4回目に赤玉が取り出される場合の確率を計算します。この場合、最初の3回で青玉が出る確率は、(7/10) × (6/9) × (5/8) となり、4回目に赤玉が出る確率は(3/7)です。これらを掛け合わせると、最終的な確率が求まります。

(2) 8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されている確率

8回目までに赤玉がすべて取り出される確率を求める場合、まず8回で赤玉3個がすべて取り出される場合を考えます。残りの5回は青玉が出ることになります。具体的には、8回中3回赤玉を取り出す組み合わせは、C(8, 3) となり、あとはそれぞれの確率を掛け算していきます。このように、組み合わせを考慮した計算が必要です。

(3) 赤玉がちょうど8回目にすべて取り出される確率

赤玉がちょうど8回目にすべて取り出される確率は、8回目までに赤玉3個が取り出され、最後の1回で赤玉が取り出される場合を考えます。この場合、最初の7回で2個の赤玉と5個の青玉を取り出す組み合わせを求め、その後に8回目で赤玉が出る確率を掛け合わせます。

確率の計算におけるCとPの違い

この問題では、「C（組み合わせ）」と「P（順列）」が登場します。Cは順番に関係なく組み合わせを求めるもので、Pは順番を考慮して計算します。今回の問題では順番を問わず赤玉が取り出される位置が重要なため、組み合わせを使うことが適切です。

階乗を使う理由

確率計算において階乗を使う理由は、複数の要素（例えば赤玉、青玉）が取り出される順番を考慮し、どの順番でそれらが出現するかを計算するためです。階乗を使うことで、取り出しの順番に関連する全ての組み合わせや並べ方を求めることができます。

まとめ

袋の中の玉の取り出し問題は、確率の計算において組み合わせや順列の基本的な理解を深めるために非常に役立ちます。問題の設定を正しく理解し、適切な計算方法を使うことで、さまざまな確率を求めることができます。特に、組み合わせと順列を使い分けることが、確率問題を解く際に重要です。