二次関数の変域の求め方：y = -2x^2の例で学ぶ

中学数学の二次関数でよく出題される「変域」の問題。特に、関数y = -2x²のような二次関数において、xの変域が与えられたときに、yの変域を求める方法がわからないという問題に直面することがよくあります。この記事では、具体的な問題を解きながら、変域の求め方をわかりやすく解説します。

二次関数y = -2x²の変域の基本

まず、y = -2x²という二次関数を考えます。この関数は下に凸の放物線を描きます。ここでは、xの変域がb < x < 3という条件が与えられています。この問題を解くためには、xの値が変わることによってyの値がどのように変化するのかを理解することが大切です。

まず、xの変域がb < x < 3となっているので、この範囲でyの最大値と最小値を求めます。x = 3のときにyが最大となり、xがbのときにyが最小となることがわかります。では、具体的にbとcの値を求めてみましょう。

まず、x = 3を代入してyの最大値を求めます。y = -2(3)² = -18。次に、x = bを代入してyの最小値を求めます。このとき、y = -2b²という式になります。

ここでのポイントは、xの値に対してyの値がどう変動するかを理解することです。特に、二次関数ではxの値が増えるほどyの値がどんどん小さくなる、または増加する特徴があります。このようにして、bとcを求めることができます。

x = 3のときにyの値が-18であり、x = bのときにyの値が最小値になります。そのため、yの変域は-32 < y < cという形で表されます。ここでcの値は、xの変域がb < x < 3に基づいて求められます。

また、yの最小値がわからない場合も、xの範囲を確認しながら、最大値と最小値を逐次的に計算することで解決できます。ここでは、実際に手順に沿って計算していくことが解法への近道です。

二次関数の変域を求めるためには、まずxの変域を理解し、その範囲内でyの最大値と最小値を計算することが重要です。また、二次関数のグラフの特徴を活かして、xとyの関係をしっかり把握しておくことが解法のカギとなります。具体的な例を解くことで、変域の問題がどんどんわかりやすくなります。

今後もこのような問題に直面した際には、xの変域に対するyの変化を意識し、計算を進めることで、スムーズに解くことができるようになります。