(√k+1)^2とk+1の違いを理解するための計算方法

質問で出てきた(√k+1)^2とk+1の関係について、理解するために重要なポイントを解説します。まず、基本的な数学の法則に則って、平方根の計算方法を確認しましょう。

平方根と二乗の基本的な理解

まず、(√k+1)^2という式を展開してみましょう。式の中に含まれる√k+1は平方根を含んでいるため、(√k+1)^2は、(√k) + 1を二乗することになります。このとき、平方根を解くと、以下のように展開できます。

(√k+1)^2 = (√k)^2 + 2×(√k)×1 + 1^2 = k + 2√k + 1

k+1にはならない理由

問題の中で示された「(√k+1)^2 = k+1」という式は成り立ちません。なぜなら、上記で示した通り、(√k+1)^2を展開した結果、k+1ではなく、k + 2√k + 1 になるからです。

これに対して、式(√k+1)^2 = k+1が成り立つためには、2√kの項が0になる必要があります。これは、k=0のときにのみ成り立つことがわかります。

計算方法と式の違いを理解する

(x+1)^2のような式では、計算をする際には二項定理を使って展開します。例えば、(x+1)^2の場合、次のように展開できます。

(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1

これと同様に、(√k+1)^2も二項定理を使って展開することで、k+1ではなく、k + 2√k + 1となることがわかります。

まとめ

(√k+1)^2 = k+1が成立しない理由は、平方根を含む式を単純に二乗して計算した結果、k+1ではなく、k + 2√k + 1が得られるからです。よって、k=0の時にのみ、(√k+1)^2 = k+1が成り立つことが理解できました。このような計算方法をしっかり覚え、式を展開して正しい結果を導き出すことが大切です。