この問題では、座標平面上にある正六角形OABCDEにおける動点Pが、点Aから点Dまで毎秒1の速さで移動する様子を考えます。点Pからx軸に垂線を下ろして得られる点Qとの関係を使い、5秒後の三角形OPQの面積を求める方法を解説します。
問題の設定
正六角形OABCDEの頂点Oは原点にあり、点Aは(4, 0)です。動点Pは点Aからスタートし、反時計回りに点Dまで移動します。問題では、点Pが出発してから5秒後における三角形OPQの面積を求めることが求められています。
まず、正六角形の各辺の長さは4、点Pは1秒ごとに進む距離が1なので、5秒後に点Pは辺の途中にいます。これを基に、三角形OPQの面積を求めることになります。
座標の設定と動点Pの位置
正六角形の1辺の長さが4で、点A(4,0)を含むため、座標平面上での各頂点の位置は次のようになります。
- 点A: (4, 0)
- 点B: (2, 2√3)
- 点C: (-2, 2√3)
- 点D: (-4, 0)
- 点E: (-2, -2√3)
- 点O: (0, 0)
動点Pは点Aからスタートし、反時計回りに移動します。Pが5秒後に到達する位置は、辺ABの途中で、Pの座標は(3, 2√3)付近になります。
三角形OPQの面積の求め方
動点Pからx軸に垂線を下ろし、その垂線の足を点Qとします。これにより、三角形OPQが形成されます。この面積は、三角形の底辺と高さを使って計算できます。
三角形OPQの底辺は、点Oと点Qのx座標の差で、Pが(3, 2√3)にあるため、点Qのx座標はPのx座標と一致します。次に高さは、点Pからx軸に下ろした垂線の長さ、すなわちPのy座標に等しくなります。
計算と結果
5秒後、点Pは(3, 2√3)にあり、点Qのy座標は点Pのy座標である2√3です。底辺は3となり、高さは2√3です。三角形の面積は次の式で求められます。
面積 = 1/2 × 底辺 × 高さ = 1/2 × 3 × 2√3 = 3√3
まとめ
このようにして、正六角形の動点Pからx軸に垂線を下ろしてできる三角形OPQの面積を求めることができます。5秒後の面積は3√3平方単位となります。動点が進む距離や時間を基に、座標を計算し、三角形の面積を求める問題を解くための手順を理解しておくことが重要です。
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