17×1, 17×2, ..., 17×22 の余りと 17×23 を使った整数の証明

この問題では、17×1, 17×2, …, 17×22 を23で割った余りが1, 2, …, 22の並べ替えになることを示した上で、17×23より大きな整数がどのようにして17×1, 17×2, …, 17×23のいずれかに23を加えた形で表せるかを証明する方法を説明します。

問題の概要

与えられた数式において、各整数が23で割った余りを計算し、さらに17×23より大きな数がどのようにして 17×1, 17×2, …, 17×23の組み合わせで表されるかを求める必要があります。

まず、17×1, 17×2, …, 17×22 を23で割った余りを求めます。ここで、各乗算の結果は23で割り切れないことがわかりますが、余りは1から22までのいずれかになります。これは、17が23と互いに素な数であるためです。

例えば、17×1 ≡ 17 (mod 23)、17×2 ≡ 11 (mod 23)、・・・、17×22 ≡ 1 (mod 23) となります。これにより、余りが1から22までの並びであることがわかります。

次に、17×23より大きな数がどのようにして17×1, 17×2, …, 17×23のいずれかに23を加えた形で表されるかを証明します。この数は、17×n + 23×mの形で表すことができます。ここで、nは1から23までの整数、mは任意の整数です。

具体的な例を示すと、例えば17×24は17×1 + 23×7の形で表すことができます。このようにして、17×23より大きな数はすべて、17×1, 17×2, …, 17×23のいずれかに23の整数倍を加えた形で表せます。

以上の計算から、17×1, 17×2, …, 17×22を23で割った余りが1から22の並べ替えであること、また17×23より大きな整数が17×1, 17×2, …, 17×23のいずれかに23を加えた形で表されることが証明されました。