数学の関数の平行移動は、グラフの位置を変える操作ですが、式でどのように表すかを理解することは重要です。この記事では、二次関数 Y = 2x^2 + x – 1 を平行移動した場合の式の変化について詳しく説明します。
平行移動とは？
平行移動とは、グラフ全体をx軸またはy軸方向に移動させる操作です。この操作では、関数の形自体は変わりませんが、グラフの位置が変わります。例えば、関数を右に移動したり、上に移動したりすることができます。
一般的に、関数 f(x) を平行移動するとき、xの値に定数を加えることで横方向の移動を、定数を加算することで縦方向の移動を行います。これらを具体的にどう扱うのかについて説明します。
Y = 2x^2 + x – 1 の平行移動
元の関数 Y = 2x^2 + x – 1 に平行移動を加えるには、xの値を変えることで横方向に移動し、関数自体の定数項を変更することで縦方向に移動します。
例えば、関数を右に h 単位だけ移動させる場合、x の部分を x – h に置き換えます。これにより、グラフが右に h 単位移動します。同様に、y軸方向に k 単位だけ移動させる場合、定数項に k を加えます。
横方向の移動：x の値を変更
Y = 2x^2 + x – 1 を横方向に移動させるには、x の部分に定数を加えることで調整します。例えば、右方向に 3 単位移動させる場合、x の部分を x – 3 に置き換えます。
これにより、新しい関数は Y = 2(x – 3)^2 + (x – 3) – 1 となります。この操作によって、グラフ全体が右に 3 単位移動したことになります。
縦方向の移動：定数項の変更
縦方向に移動させる場合は、関数に定数を加えることで調整します。例えば、上方向に 4 単位移動させる場合、関数に 4 を加えます。
この場合、新しい関数は Y = 2x^2 + x – 1 + 4 となり、グラフ全体が上に 4 単位移動したことになります。
実例：関数の平行移動
具体的な実例を見てみましょう。関数 Y = 2x^2 + x – 1 を右に 2 単位、上に 5 単位移動させるとします。この場合、x の部分を x – 2 に変え、定数項に 5 を加えます。
新しい関数は Y = 2(x – 2)^2 + (x – 2) – 1 + 5 となり、これが平行移動した後の関数です。グラフは右に 2 単位、上に 5 単位移動したことになります。
まとめ
Y = 2x^2 + x – 1 の平行移動は、x の値を変更することで横方向の移動を、定数を加えることで縦方向の移動を実現できます。この方法を理解することで、関数の平行移動を簡単に表現できるようになります。平行移動は関数のグラフを移動させるだけでなく、その変化を式として表現することができるため、数学の理解を深めるための重要なステップとなります。
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