不定積分における積分定数Cとは？グラフ上の位置と解説

不定積分を解く際、積分定数Cが必ず現れますが、このCはグラフ上でどのように示されるのでしょうか？不定積分におけるCの役割とその意味を、グラフとともに詳しく解説します。

1. 不定積分と積分定数Cの基本

不定積分を行うとき、定積分とは異なり、積分定数Cが結果に加わります。これは、不定積分では積分する関数の元の関数が一意に定まらないためであり、積分定数Cはその関数の「初期状態」を表します。

積分定数Cは、積分によって得られる関数の任意の定数項です。例えば、f(x)の不定積分がF(x)の場合、F(x) = ∫f(x)dx + Cとなります。このCは積分の際に必要であり、最初の条件（例えば、初期値）が与えられるまで定まらないものです。

積分定数Cはグラフにおいて、関数の縦方向の位置に影響を与えます。具体的には、Cが異なると、同じ形状のグラフでも上下にずれることになります。Cの値が異なると、グラフが同じ傾きや形を持ちながらも、y軸方向に平行移動します。

例えば、C=0のときのグラフがy=x²なら、C=1ではy=x²+1となり、グラフがy軸方向に1だけ上方へ平行移動します。

積分定数Cがどのように現れるかを理解するために、実際の関数を使ってみましょう。例えば、f(x) = xの不定積分を考えた場合、F(x) = (1/2)x² + Cという形になります。このグラフでは、Cが異なるたびに、曲線は異なるy軸の位置に平行移動します。

不定積分で現れる積分定数Cは、関数の位置を決定する「縦方向のずれ」を表しています。Cは関数の初期条件に依存しており、グラフ上では同じ形状の関数が上下にずれることによってその影響を視覚的に確認できます。