非復元抽出と標本平均の確率分布を求める方法

統計学において、母集団から標本を抽出する方法や、標本平均の確率分布を求める手法は非常に重要です。ここでは、母集団から非復元抽出によって標本を取り、その標本平均を求める方法について解説します。特に、100メートル走の所要時間を計測したデータを用いて、標本平均の確率分布を求める方法を見ていきます。

問題設定

与えられたデータは、5人の生徒が100メートルを走った所要時間です。これらを母集団として、非復元抽出により大きさ2の標本を無作為に抽出し、標本平均の確率分布を求めることが求められています。

データは次の通りです。

非復元抽出とは、抽出されたデータを母集団から戻さない方法です。これにより、同じデータが再度選ばれることはありません。この方法を用いることで、各標本が母集団の中でユニークなデータ点を代表することが保証されます。

次に、抽出された標本の平均を求めます。標本平均は、標本内のデータの合計を標本数で割った値です。この標本平均を求めることによって、母集団の代表値を知る手助けになります。

問題では、標本の大きさが2であり、標本平均の確率分布を求める必要があります。まず、標本平均の計算に関わるすべての組み合わせを考えます。5人の生徒から2人を選ぶ方法は、次のように計算できます。

生徒AとB: 平均 (12 + 14) / 2 = 13
生徒AとC: 平均 (12 + 14) / 2 = 13
生徒AとD: 平均 (12 + 16) / 2 = 14
生徒AとE: 平均 (12 + 18) / 2 = 15
生徒BとC: 平均 (14 + 14) / 2 = 14
生徒BとD: 平均 (14 + 16) / 2 = 15
生徒BとE: 平均 (14 + 18) / 2 = 16
生徒CとD: 平均 (14 + 16) / 2 = 15
生徒CとE: 平均 (14 + 18) / 2 = 16
生徒DとE: 平均 (16 + 18) / 2 = 17

次に、これらの標本平均がどれだけ起こりやすいか（確率）を計算します。すべての組み合わせが等確率で起こると仮定すると、標本平均は次の確率分布を持つことになります。

この問題では、母集団から非復元抽出で2人の標本を選び、その標本平均の確率分布を求めました。標本平均の確率分布を理解することで、データのばらつきや中心傾向についての洞察が得られます。今後、より複雑な問題に取り組む際にも、同様の方法を応用することができます。