複素数z, wの問題解法：|z|=|w|=1, z+w=iを満たすzの実部が正であるものを求める

この問題では、複素数zとwが与えられ、|z|=|w|=1かつz+w=iを満たすとき、zの実部が正である場合の解を求めます。このような問題は、複素数の加法と絶対値に関する基本的な理解を確認するものです。

1. 複素数の条件を整理する

まず、|z|=|w|=1という条件は、zとwが単位円上の点であることを意味します。したがって、zとwはそれぞれ次のように表すことができます。

z = cos(θ1) + i sin(θ1), w = cos(θ2) + i sin(θ2)

次に、z + w = iという条件に注目します。この式は、実部と虚部に分けると、次のように表せます。

(cos(θ1) + cos(θ2)) + i(sin(θ1) + sin(θ2)) = i

ここで、実部が0、虚部が1であることから、次の2つの式が得られます。

これらの式を解くためには、三角関数の加法定理や代数を利用して整理します。具体的な計算手順を進めると、θ1とθ2の関係式を求めることができます。

最終的に、θ1 = π/3およびθ2 = -π/3といった解が得られるので、zの実部が正となる解が求まります。

したがって、zの実部が正である解は、z = cos(π/3) + i sin(π/3)です。この解を使って、問題を解決することができます。

複素数zとwの問題において、|z|=|w|=1、z+w=iを満たし、zの実部が正である解を求めるためには、三角関数と代数の基本的な操作を行いました。この問題は、複素数の基本的な性質を理解するのに役立ちます。