数学の問題で導関数を求める際、関数がどのように変化するかを示す重要な手法となります。ここでは、f(x) = 2x の導関数を、導関数の定義に従って求める方法を解説します。
導関数の定義とは？
導関数とは、関数がどれだけ変化するか、すなわち関数の傾きを示すものです。導関数の定義は、次のように表されます。
f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) − f(x)] / h
この式を使って、f(x) の導関数を求めることができます。ここでは、具体的に f(x) = 2x の場合について見ていきます。
f(x) = 2x の導関数を求める手順
まず、f(x) = 2x という関数に対して、導関数の定義を適用します。
f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) − f(x)] / h
この関数に f(x + h) を代入すると、f(x + h) = 2(x + h) となります。
これを式に代入すると、次のようになります。
f'(x) = lim (h → 0) [(2(x + h)) − 2x] / h
式を整理すると。
f'(x) = lim (h → 0) [2x + 2h − 2x] / h = lim (h → 0) [2h] / h
限界を求める
次に、h を 0 に近づけると、式は次のように簡単になります。
f'(x) = lim (h → 0) 2 = 2
したがって、f(x) = 2x の導関数は f'(x) = 2 であることが分かります。
まとめ
f(x) = 2x の導関数を求めるために、導関数の定義を使って計算しました。計算結果として、導関数は f'(x) = 2 となり、これは関数がどこでも一定の傾きを持つことを示しています。導関数の定義を使った方法をしっかり理解することで、さまざまな関数の導関数を求めることができるようになります。
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