「x^3 – x^2 – 2x – 8 = 0」のような三次方程式を解くのは、高校2年生でも十分に解ける内容です。この記事では、この方程式をどのように解くかをステップバイステップで解説します。
三次方程式とは？
三次方程式は、最も高い次数（xのべき乗）が3である方程式です。このような方程式の解法は、因数分解や試行錯誤、または公式を使って求めることができます。
この問題「x^3 – x^2 – 2x – 8 = 0」は、三次方程式なので、解を求める方法としてまずは因数分解を試みます。
因数分解を使った解法
まず、x^3 – x^2 – 2x – 8 = 0 を因数分解で解く方法を考えます。多くの場合、三次方程式を因数分解する際には、「有理数解の定理」を利用して、解となるxの値を予想し、試してみるのが有効です。
この方程式の解を求めるために、まずは「試し割り」を行ってみましょう。整数の解を試すために、x = 2を代入してみます。
x = 2 の場合：
2^3 – 2^2 – 2×2 – 8 = 8 – 4 – 4 – 8 = 0
つまり、x = 2 は解の一つです。
一次式に因数分解
x = 2が解であることが分かったので、x – 2 を因数として取り出すことができます。次に、x^3 – x^2 – 2x – 8 を (x – 2)(x^2 + x + 4) の形に因数分解します。
この時点で残りの部分「x^2 + x + 4」を解くために、二次方程式を解きますが、この二次方程式には実数解は存在しません。判別式を使って解の有無を確認することができます。
判別式 Δ = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15
判別式が負であるため、x^2 + x + 4 は実数解を持たないことがわかります。
まとめ
「x^3 – x^2 – 2x – 8 = 0」の解法では、まず試し割りを使ってx = 2を解として見つけ、その後因数分解を行い、実数解としてはx = 2が得られました。残りの部分は二次方程式となりますが、実数解は存在しません。このように、三次方程式でも有理数解が見つかれば、その後の解法は比較的簡単に進みます。
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