数学の問題でよく出てくる条件付き確率を使った問題について解説します。今回は、3枚のカードと袋の中の数字の球を使った問題において、条件付き確率を求める方法をわかりやすく説明します。
問題の整理と解法のステップ
問題を解くためにまず整理してみましょう。
- 3枚のカードがあり、片面が白、もう片面が黒です。
- カードは横一列に並べ、1, 2, 3の数字が書かれた球が袋の中にあり、無作為に取り出します。
- 取り出した球の数kに対して、左からk番目のカードを裏返し、取り出した球は袋に戻します。
- n回の操作後、左端が白である確率Pnを求め、その後の条件付き確率qnを求めます。
ここでの目標は、n回目の操作後左端のカードが白色のとき、2回目の操作後3枚とも白である条件付き確率qnを求めることです。
漸化式で求められるPn
まず、Pnは漸化式を使って求めることができます。Pnは、n回目の操作後左端のカードが白である確率です。これは、操作の回数に伴って確率がどのように変化するかを示す式になります。
漸化式を使うと、Pnは次のように求められます。
Pn = 3^(n-1) + 3 / 3^n + 1
この式を使うことで、n回目の操作後に左端が白である確率を計算できます。
条件付き確率qnの求め方
次に、条件付き確率qnを求めます。条件付き確率qnは、「n回目の操作後左端が白である」という条件のもとで、「2回目の操作後、3枚とも白である確率」を意味します。
条件付き確率を求めるためには、分母としてPnを求め、その上で分子を計算します。分子の部分は、n回目の操作後左端が白であり、かつ2回目の操作後に3枚とも白である確率を示します。この計算は、漸化式を用いて進めていきます。
具体的な計算方法
具体的な計算を行うためには、まずPnを求め、その後に分子となる確率を計算します。これらの確率を分母と分子に代入し、最終的に条件付き確率qnを求めます。
計算の結果、条件付き確率qnは次のように求められます。
qn = 3^(n-1) + 3 / 3^n + 1
まとめ
この問題では、漸化式を使ってPnを求め、その後、条件付き確率qnを計算しました。条件付き確率の理解と計算をしっかりと身につけることで、類似した確率の問題にも対応できるようになります。
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